18/12/07

1- Un pezzo può essere difettoso o meno, bisognerà dunque applicare la distribuzione binomiale, B_m(n,p) = m!/[n!(m-n)!)] p^n (1-p)^(m-n).

In particolare, se prendo 6 pezzi a caso e voglio sapere la probabilità che 2 siano difettosi, potrà indifferentemente trattarsi dei primi 2, dei secondi 2 ... del primo e del terzo ... ossia ci sono 6!/(2!4!) = 15 combinazioni possibili per i 2 pezzi difettosi; quindi il risultato è 15*p^2*(1-p)^4 = 0.0362 dove p = 0.055 . Seconda parte: non più di un pezzo difettoso significa che si può avere 0 oppure 1 pezzi difettosi, quindi (1-p)^6 + 6*(1-p)^5*p = 0.712 + 0.249 = 0.961 .

2- vedi 3- del 22/09/06

L'intervallo va da -2 dev. st. a -1 dev. st.; quindi, usando per es. le tabelle (o i valori dati negli appunti) per la distribuzione normale poichè il campione è grande, ho P = 0.136 e 14 misure comprese nell'intervallo.

3- Se mi aspetto 100 eventi distribuiti uniformemente in 5 classi, ce ne saranno 20 per classe (Tk). Avrò quindi chi2 = Somma (Ok-Tk)^2/Tk dove Ok sono gli eventi osservati, chi2 = 9.8 . Ci sono n = 5-1 = 4 gradi di libertà perchè k va da 1 a 5 (le classi) e c'è una condizione, la somma degli eventi, usata per derivare la distribuzione uniforme.

(facoltativo) La probabilità di osservare un chi2 = 9.8 o maggiore con n = 4 è p = 0.044, quindi l'hp che gli eventi osservati sono compatibili col provenire da una distribuzione uniforme può essere rigettata per es. col 95% di CL (ma non col 99%).

4- Si può usare il teorema di Bayes P(M|+) = P(M)*P(+|M)/[P(M)*P(+|M)+P(S)*P(+|S)], con

P(M) = 0.025, P(+|M) = 0.90, P(S) = 1-P(M), P(+|S) = 0.10, ottenendo P(M|+) = 0.1875 .

5- La probabilità di osservare k eventi in un processo poissoniano di media m è

P(k) = m^k*exp(-m)/k!.

Se quindi k = 0 avrei exp(-m) = 0.135 e -m = ln(0.135) = -2.00, cioè m = 2.00 .

Per rispondere alla prima domanda basta in effetti ricordare che per qualsiasi distribuzione di probabilità discreta la somma su tutte i valori possibili della variabile aleatoria è uguale a 1, la certezza!

Quindi senza sapere alcunchè di Poisson, la P di osservare almeno un conteggio è P = 1 - 0.135 = 0.865 .

(facoltativo) Per rispondere invece alla seconda domanda occorre usare il valore di m trovato prima e avremo P' = 1 - exp(-m) - m*exp(-m) = 0.595 .

6- C'è da calcolare la regressione di y su x nella forma y = m*x + c. Dagli appunti

m = (S_xy - k*xm*ym)/(S_xx - k*xm^2) mentre c può essere trovato per sostituzione nel punto (xm,ym). S_xy e S_xx sono le sommatorie dei prodotti x*y e x*x, k è il numero di coppie (x,y), infine xm = S_x/k, ym = S_y/k sono i valori medi delle x e delle y. Una tabella con k righe e 4 colonne x, x^2, y, x*y può aiutare nei calcoli.

Il risultato è m = 5.5 min/km e c = ym - m*xm = - 4 min, mentre la predizione è

y(50 km) = m*50 - 4 = 271 min.

22/09/06

1- vedi 1- del 18/12/07

B_8(2,0.25) = 0.311

B_8(0,0.25)+B_8(1,0.25) = 0.100 + 0.267 = 0.367

2- 5 bilie 4 a 4

disposizioni D(m,n) = m^n = 5^4 = 625

permutazioni P(m,n) = m!/(m-n)! = 5!/1! = 120

combinazioni C(m,n) = m!/[(m-n)!n!] = 5

3- si tratta di una distribuzione normale o di Gauss. Per una gaussiana standardizzata (media=0, dev.st.=1) sono disponibili tabelle di integrali. Nel caso particolare la risposta è semplice e non ha bisogno di tabelle, basta in prima approssimazione usare il valore dato negli appunti: sappiamo che il 16% dei pezzi eccede 2.41 m, con un valor medio 2.40 m -> il 16% dei pezzi sarà più corto di 2.39 m, ossia il 68% = 1 - 32% dei pezzi è compreso fra 2.39 e 2.41 m. Ora per una distribuzione

normale circa il 68% dell'area (o della probabilità che sia) è contenuto entro val.m.-1dev.st. e val.m.+1dev.st., quindi 2 dev.st. = 0.02 m e la dev.st. è 0.01 m.

4- (facoltativo)

L E

M 67 93 160 hp nulla 64 96 T-O -3 +3

S 33 57 90 36 54 +3 -3

100 150 250

per costruire l'hp nulla si usano le probabilità marginali ad es.

P(L)*P(M)*n = 100/250 * 160/250 * 250 = 64 etc.

Sum(T-O)^2/T = 9/64+9/36+9/96+9/54 = 0.651

gradi di libertà=1, chi2 = 0.651

l'hp nulla non può essere rigettata, la probabilità di osservare un chi2 uguale o

maggiore di quello osservato con un grado di libertà è p = 0.420

5- svolto a lezione

mM = ShM/nM = 396/240 = 1.65 m

mF = ShF/nF = 496/320 = 1.55 m

usando le formule per la varianza di una popolazione

sigmaM^2 = S(hM^2)/nM - mM^2 = ( 0.05 m )^2

sigmaF^2 = S(hF^2)/nF - mF^2 = ( 0.06124 m )^2

m(M-F) = mM-mF = +0.10 m

sigma(M-F) = sqrt(sigmaM^2 + sigmaF^2) = 0.0791 m

P[(M-F)>0] = integrale da -0.10 a infinito della gaussiana di valor medio + 0.10 e

dev. st. 0.0791 ( = integrale da -0.10/0.07906 = -1.265 a infinito della gaussiana

standardizzata ) = 0.897 .

6-

xm = 0.075 t/ettaro

ym = 1.65 t/ettaro

a questo punto si possono usare le formule usate nel 6- del 18/12/07, oppure in modo

assolutamente equivalente, quelle dei minimi quadrati (il risultato è lo stesso)

S_x = 0.30 S_x*S_x = 0.09 S_xx = 0.0350

S_y = 6.60 S_xy = 0.5605 k = 4

m = (4*0.5605-0.30*6.60)/(4*0.0350-0.09) = (2.242-1.98)/0.05 = 5.24

c = (0.0350*6.60-0.5605*0.30)/0.05 = (0.231-0.16815)=0.063195/0.05 = 1.257 t/ettaro

y = (5.24 x + 1.257) t/ettaro

R = 2.2*(5.24*0.125/2.2 + 1.257) = 3.42 t