Esercizio 11

Un recipiente sferico di raggio r = 0.9637E+01 cm è riempito di gas perfetto a temperatura T0 = 0.4695E+03 K e a pressione atmosferica. Si riscalda il gas di 0.3697E+02 °C, qual è il modulo della forza esercitata dal gas sull'1.095% della superficie della sfera?

Soluzione.

La trasformazione termodinamica presentata nell'esercizio avviene a volume costante. Il volume, infatti, è fissato dal recipiente che contiene il gas. È possibile allora applicare la legge di Gay-Lussac, secondo la quale il rapporto tra pressione e volume è costante:

p / T = p0 / T0
La pressone iniziale, p0, è pari alla pressione atmosferica:
p0 = 1 atm = 1.01325·105 Pa
La temperatura finale è data dalla temperatura iniziale T0 più l'aumento di temperatura dT in seguito al riscaldamento:
T = T0 + dT = 469.5 + 36.97 = 506.47 K
Notare che dT è una differenza di temperatura: di conseguenza ha lo stesso valore sia in °C che in Kelvin e non bisogna trasformarla.
La pressione finale è quindi:
p = T·p0 / T0 = (T0+dT)·p0 / T0
La forza esercitata su una superficie S è data dal prodotto della pressione per la superficie. In questo caso la superficie è l'1.095% della superficie della sfera, vale a dire:
S = 4·πr2·1.095 / 100
Il raggio è dato in cm; se si eseguono i calcoli nel sistema SI va trasformato in metri dividendo per 100: r = 9.637 cm = 0.09637 m. Infine si può scrivere l'espressione per la forza:
F = p·S = (T0+dT)·p0·4·πr2·1.095 / (T0·100) = 1.40·102 N

Attenzione

Nelle versioni di questo esercizio con la temperatura iniziale in gradi Celsius, si potrebbe usare la seconda legge di Gay-Lussac nella forma
p = p0 (1 + βt)
dove β = 1/273.15 e ora però l'indice 0 si riferisce allo zero Celsius. Da cui si ottiene con alcuni passaggi per le generiche temperature Celsius t1,t2
p2 = p1 (1/β + t2) / (1/β + t1)
che, a parte le notazioni cambiate, dà ovviamente lo stesso risultato della formula usata in precedenza nella soluzione.
Le formule (6.3) e (6.6) a pag. 199 del libro Principi di Fisica di E. Ragozzino (edizione 2007) invece sono sbagliate. Quindi non devono essere usate per la soluzione degli esercizi. Usando qui di seguito le notazioni del libro, le formule giuste sono:
V2 - V1 = αV0 (t2 - t1)
p2 - p1 = βp0 (t2 - t1)
dove gli indici 1,2 si riferiscono a generiche temperature t1,t2 nella scala Celsius mentre l'indice 0 si riferisce allo zero Celsius.