L'EQUAZIONE DI CONTINUITÀ

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Abbiamo detto che considereremo lo spazio occupato dal fluido come un campo vettoriale, ma con ciò non abbandoneremo neanche la visione lagrangiana del problema, prendendo in esame il moto delle particelle costituenti il fluido, che poi è quello che più direttamente ci interessa.
Useremo il termine particella in senso newtoniano, cioè con riferimento ad una massa puntiforme dm=ro*dV e ad un elemento di volume dV così piccolo da poter considerare le forze che su di esso agiscono come applicate ad un unico punto, ma anche sufficientemente grande da contenere un elevato numero di molecole cosicché la media delle velocità disordinate di queste ultime sia nulla.
In quest'ottica considerando il flusso stazionario di un fluido all'interno di un tubo di flusso di sezione variabile, ma ponendoci nella condizione più generale per cui detto fluido sia comprimibile, vediamo cosa accade all'interno del tubo tenendo presente la validità delle leggi di conservazione di massa ed energia.

tubo di flusso

Il volume di controllo che prendiamo in considerazione sarà contenuto nel tubo tra due sezioni A1 ed A2, dove le densità del fluido stesso sranno rispettivamente ro(1) e ro(2).
Se nel tempo dt entra una certa massa di fluido attraverso A1, occupando il volume A1ds1, nello stesso intervallo infinitesimo di tempo una massa della stessa entità ma di volume A2ds2 dovrà uscire dal tubo, proprio perché per la conservazione della massa all'interno del tubo non ci potrà essere creazione o distruzione di materia. Ne seguirà che :

ro(1)*A(1)*ds(1)=dm(1)=dm(2)=ro(2)*A(2)*ds(2)

Dividendo entrambi i membri per dt otteniamo così l'equazione di continuità per un generico fluido in flusso stazionario (per ottenere questa equazione non è necessario supporre il fluido incomprimibile):

ro(1)*A(1)*v(1)=ro(2)*A(2)*v(2)


L'equazione appena scritta stabilisce inoltre, per l'arbitrarietà delle sezioni A1 e A2, che la massa di fluido che attraversa una sezione del tubo di flusso in un secondo nelle condizioni di flusso stazionario è costante.


Nel caso di un flusso incomprimibile, cioè per ro(1)=ro(2) la relazione sopra si riduce a :

A(1)*v(1)=A(2)*v(2)

Per lo stesso motivo di cui sopra il prodotto Av sarà costante lungo il tubo, il che equivale a dire che la velocità nel tubo di flusso è inversamente proporzionale alla sua sezione. Nella rappresentazione mediante linee di flusso in questi casi si hanno perciò zone di bassa velocità dove queste sono più rade, zone di alta velocità dove sono più fitte.
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