Per introdurre la distribuzione binomiale ricorriamo ad un
esempio.
Supponiamo che tre persone (Francesca, Luigi e Tiziano)
escono ciascuno dalla loro casa per andare a prendere il medesimo
autobus e che ciascuno di essi abbia probabilità pari a p
di riuscire ad arrivare in tempo alla fermata (e ovviamente
probabilità 1-p di perdere l'autobus): ci si chiede quale
sia la probabilità che due dei tre personaggi in questione
riesca nell'intento.
Cominciamo col notare che si richiede la probabilità che due prendano l'autobus, senza specificare quali: in questo modo l'evento due persone prendono l'autobus si può verificare in tre modi diversi ossia
Dunque l'evento almeno in due prendono l'autobus, che
denoteremo 
, sarà
rappresentabile come
dove F, L e T sono rispettivamente
Francesca, Luigi e Tiziano che prendono l'autobus, mentre 
, 
e 
corrispondono ognuno al rispettivo
personaggio deluso per aver perso l'autobus.
Potendo inoltre considerare i tre personaggi (eventi) indipendenti, per
i teoremi della somma e del
prodotto delle
probabilità, la probabilità dell'evento sarà:
Ponendo 1 - p = q otteniamo in definitiva
P() =
3 p2q
Vediamo la generalizzazione di questo esempio.
Si considerino N prove indipendenti in cui l'evento A
può verificarsi o meno: sia p la probabilità (costante
per ogni prova) che l'evento A si presenti e di
conseguenza 1-p=q la probabilità che esso non si
verifichi. Cerchiamo la probabilità 
che l'evento A si verifichi m
volte in N prove.
Consideriamo a questo proposito l'evento 
corrispondente al verificarsi di A
esattamente m volte in N prove.
Come nell'esempio precedente questo evento può realizzarsi in
più modi diversi: decomponiamo allora l'evento in una somma di prodotti
di eventi, consistenti nel presentarsi o meno di A in una
singola prova.
Se denotiamo con 
il
presentarsi dell'evento A nell'i-esima prova e con 
il non
presentarsi di A nell'i-esima prova, abbiamo che ogni
variante di apparizione dell'evento si compone di m apparizioni
dell'evento A e di n-m eventi 
con indici distinti
Il numero di combinazioni possibili è uguale a 
, cioè al numero di modi
diversi in cui si possono scegliere le m prove, tra le N
totali, in cui abbia luogo l'evento A.
Per il teorema di
moltiplicazione delle probabilità nel caso di eventi indipendenti, la
probabilità di ogni combinazione è pmqN-m.
Essendo le varie combinazioni mutuamente escludentesi,
per il teorema dell'addizione,
la probabilità dell'evento è pari a :
Il coefficiente
è detto coefficiente binomiale e viene spesso indicato
come 
: in
particolare il suo valore è
Note
Proprietà
Esempi
Distribuzioni
discrete