LA LEGGE DI POISEUILLE

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Il moto a velocità costante di un fluido viscoso ed incomprimibile in una tubatura di sezione costante è laminare: consiste cioè nello scivolamento relativo di un numero infinito di cilindri coassiali all'asse del tubo.
La variazione delta p di pressione tra due punti situati rispettivamente all'ingresso ed all'uscita del tubo è data da:

delta p=[(8*eta*L)/(pi*r*r*r*r)]* Q(v)

detta legge di Poiseuille, dove L è la lunghezza del tubo, r il suo raggio, eta il coefficiente di viscosità del fluido e Qv la portata del tubo.
È possibile convincersi della ragionevolezza di questa relazione attraverso un'analisi dimensionale.
Riscrivendola come:

Q(v)=[(pi*r*r*r*r)/(8*eta)]*(delta p/L)

si può verificare che le grandezze devono comparire nella formula con le potenze indicate ipotizzando ragionevolmente che la portata del condotto (volume di fluido che attraversa la sezione nell'unità di tempo) sia direttamente proporzionale ad una qualche potenza da determinarsi della propria viscosità, del raggio della tubatura e del gradiente di pressione (variazione di pressione in rapporto alla lunghezza del tubo):

secondo una costante di proporzionalità k da determinarsi sperimentalmente. Riducendo le quantità elencate alle dimensioni fondamentali si ha:

L³ T-1= (M L-1 T-1)a Lb (M L-2 T-2)c

Imponendo la coerenza dimensionale dei fattori corrispondenti nei due membri si ottiene:

per L3 = - a + b -2c
per T-1 = -a - 2c
per M0 = a + c

sistema che risolto dà a = -1, b = 4 e c = 1, proprio come nell'equazione sopra, posto il coefficiente (1/8)*pi.

Ricordando che si era detto:

delta p= p(1)-p(2)=Q(v)*R

dall'equazione di Poiseuille possiamo definire il fattore

R=(8*eta*L)/(pi*r*r*r*r)

detto resistenza idraulica. La legge di Poiseuille può essere interpretata come legge di proporzionalità tra la "causa" delta p che provoca il flusso e l'effetto Qv che ne segue secondo una costante di proporzionalità R che dipende dalle caratteristiche geometriche del condotto e dalla viscosità del fluido. Si noti che la legge di Poiseuille è analoga alla legge di Ohm per la conduzione elettrica, alla legge di Fick per la diffusione di un soluto e al postulato di Fourier per la conduzione del calore.



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