Tra le prime e maggiormente note proposte di
caratterizzazione formale della casualità matematica (cioè
quali criteri debba soddisfare una sequenza di numeri per essere
casuale) si colloca senz'altro la teoria di R. von Mises, la cui
elaborazione ebbe inizio negli anni venti.
Per von Mises i giochi d'azzardo sono da riguardarsi quali
paradigmi del concetto di casualità. Pertanto una
sequenza di numeri è casuale quando esibisce la stessa
caratteristica propria degli esiti dei giochi d'azzardo. Ma qual
è questa caratteristica?
Nei giochi d'azzardo non esiste alcun sistema che, a lungo
andare, aumenti le chance di vittoria. Parimenti, il
requisito essenziale perchè una sequenza possa definirsi casuale
consiste nella completa assenza di regole che possano essere
applicate con successo per migliorare le previsioni circa il
numero successivo.
Questo principio prende il nome di "principio
dell'impossibilità di un sistema di gioco" o "assioma
del disordine".
Applicato a sequenze infinite, il principio dell'impossibilità di un sistema di gioco esclude, però, quasiasi controllo effettivo della casualità della sequenza stessa. Una sequenza del tipo:
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ...
e così via per un miliardo di miliardi di 1 e 0, è all'inizio
regolare; ma se poi, dopo tutti questi miliardi di miliardi, alla
fine, cessa la regolarità ecco che diventa del tutto
legittimo parlare di sequenza casuale. Come controllare
empiricamente questo genere di casualità? Quanti elementi
dobbiamo considerare come "inizio" e quanti come
"fine"?
Di contro alla teorizzazione di von Mises, Popper propone un
altro tipo di sequenza casuale: una sequenza finita, di
cui si può dire che è casuale "fin dall'inizio". Per
Popper le sequenze casuali sono costruite con una regola
matematica, in modo tale che di un segmento finito, corto o
lungo che sia, si possa dire che è tanto casuale quanto è
consentito dalla lunghezza del segmento stesso.
Popper scriveva queste idee nel 1934. Ora si ritrovano nei sistemi fondati su precise regole matematiche per costruire sequenze di numeri casuali. È chiaro che se conosciamo la regola con cui costruire una sequenza, questa non è più definibile a rigore come casuale: ogni numero è infatti predicibile con probabilità uguale al 100%. Eppure le sequenze generate con i metodi matematici sono quelle che vengono comunemente adoperate.
Sequenze
casuali