DISTRIBUZIONI DISCRETE
- Distribuzione ipergeometrica -

La distribuzione ipergeometrica si applica ad insiemi contenenti N elementi divisi in due classi: in una abbiamo M oggetti che presentano una certa caratteristica e nell'altra si trovano gli altri N-M elementi con caratteristiche diverse da quella che contraddistingue gli oggetti della prima classe.
Se ci si chiede quale sia la probabilità di trovare x elementi appartenenti alla prima classe, effettuando un'estrazione, senza reintroduzione, di campione a caso di n elementi dagli N totali, bisogna utilizzare alla distribuzione ipergeometrica.

La forma matematica di tale distribuzione è la seguente:

Si noti bene che a differenza del caso della distribuzione binomiale, ciascuna delle n estrazioni non sono indipendenti l'una dalle altre.

Note
Proprietà
Esempi

Calcoliamo il valor medio della distribuzione utilizzando la definizione del momento iniziale di ordine 1:

ponendo y = x - 1 otteniamo

Dalla proprietà dei coefficienti binomiali, otteniamo

Per quanto riguarda la deviazione standard, dopo lunghi e tediosi calcoli si arriva a

Approfondimenti

• Esempio 1. Un'urna contiene N=10 palline: M=7 di queste sono di colore bianco e le rimanenti tre sono nere.
  Calcolare la probabilità che estraendo un campione a caso di n=5 palline contenente, x=3 di queste siano bianche.

  Soluzione. Applicando la formula della distribuzione ipergeometrica con i dati forniti nel testo otteniamo

  

  Cioè la probabilità di estrarre un campione di 5 palline contenente 3 palline bianche è pari a 105/252 (=2/5) ossia poco meno del 42%.

• Esempio 2. Con gli stessi dati dell'esempio precedente si calcoli la probabilità di estrarre un campione contenente almeno due palline bianche.

  Soluzione . Per calcolare la probabilità che almeno 2 palline del campione siano bianche, utilizziamo il teorema della somma delle probabilità considerando un campione con almeno due palline bianche.
  In particolare i casi possibili sono: 2 palline bianche su 5, 3 su 5, 4 su 5 oppure tutte e 5 bianche. allora la probabilità richiesta saraà

  

  Eseguendo i calcoli otteniamo

  

  Questo risutato non deve stupirci in quanto, essendo solo 3 le palline nere contenute nell'urna, al momento dell'estrazione di 5 palline per forza almeno 2 palline dovranno essere bianche!!!

  Se infatti ci chiedessimo quale sia la probabilità di estrarre un campione di 5 palline contenente solo una pallina bianca, ci troveremmo di fronte al fattoriale di un numero negativo che sappiamo essere privo di significato (l'esercizio è lasciato allo studente).

Distribuzioni discrete