Equazione di Bernoulli

LA EQUAZIONE DI BERNOULLI

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Consideriamo ora un fluido ideale che scorra in un tubo di sezione e quota variabile :

acqua che scorre nei tubi

Lo spostamento del fluido nel condotto porterà la massa che si trova tra i punti 1 e 2 a trovarsi dopo un intervallo di tempo delta t

tra i punti 1' e 2'. La variazione tra le figure (a) e (b) riguarda le porzioni di massa fluida ombreggiate nella figura sotto (in figura sono indicati i moduli dei vettori disegnati: in tutta questa sezione tratteremo direttamente con i moduli delle grandezze vettoriali in questione):

acqua che scorre nei tubi

Il volume entrante sarà uguale a quello uscente (per l'incomprimibilità):

delta V= A(1)*delta x(1) = A(2)* delta x(2)

e la massa di questo fluido sarà:

delta m

Per effetto del movimento del fluido la massa delta m

nel tempo

è stata spostata dalla quota y₁ alla quota y₂ e la sua velocità è variata da v₁ a v₂.
Per trovare una legge che regola il moto in questo tipo di condotto è necessario applicare il teorema dell'energia cinetica al fluido contenuto inizialmente tra i punti 1 e 1' ovvero alla massa di fluido delta m

.
La variazione di energia cinetica di questa massa è

variazione totale energia cinetica

La variazione di energia potenziale è:

variazione totale energia potenziale

Il fluido a sinistra dell'imboccatura del tubo che precede la massa delta m

eserciterà su essa una forza di modulo F(1)=p(1)*A(1)

, dove p₁ è la pressione nel punto 1. Questa forza compirà un lavoro :

lavoro di F(1)

Con un ragionamento analogo, alla fine del tubo, a destra della massa delta m

considerata, il fluido che segue compirà su di essa un lavoro negativo:

lavoro di F(2)

dove p₂ è la pressione nel punto 2 esercitata in verso contrario al moto del fluido.
Il lavoro totale compiuto da queste forze è :

lavoro totale forze pressione

e quindi dal teorema dell'energia cinetica

L=delta U+delta E.cin

conservazione energia tra 1 e 2

dividendo per delta V

e raccogliendo al primo membro le grandezze relative al punto 1 ed al secondo quelle relative al punto 2 :

p(1) + ro*g*y(1) + (1/2)*ro*v(1)*v(1) = p(2) + ro*g*y(2) + (1/2)*ro*v(2)*v(2)

Poiché i due punti sono stati presi a caso nel condotto è possibile ripetere questo ragionamento per qualsiasi coppia di punti e quindi concludere che

p + ro*g*y + (1/2)*ro*v*v = costante

detta equazione di Bernoulli.

L'equazione di Bernoulli è rigorosamente applicabile solo a moti stazionari poiché le grandezze che intervengono devono venir valutate lungo una stessa linea di flusso : la costante che compare nell'equazione non è in generale la stessa per tutte le linee di flusso. Se il flusso è irrotazionale si può dimostrare che la costante è la stessa per tutte le linee di flusso.
È da notare inoltre che, come per le particelle materiali, le leggi della statica sono un caso particolare di quelle della dinamica : considerando infatti il caso in cui v(1)=v(2)=0